D - Number of Amidakuji 解説 /

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配点: 400 点

問題文

あみだくじは, 日本に古くから伝わる伝統的なくじ引きである.

あみだくじを作るには, まず W 本の平行な縦線を引き, 次にそれらを繋ぐ横線を引いていく. それぞれの縦棒の長さは H+1 [cm] であり、横線の端点となれるのは上から 1,2,3,...,H [cm] の位置のみである.

ここで,「正しいあみだくじ」とは, 以下のような条件を満たすあみだくじのことである.

  • どの 2 つの横棒も端点を共有しない.
  • それぞれの横棒の 2 つの端点は同じ高さになければならない.
  • 横棒は隣り合う縦線を繋がなければならない.

縦棒 1 の上端から, 横線があれば必ずそれを通るというルールで下へたどったときに, 最終的にたどり着く縦棒の番号が K となるような「正しいあみだくじ」の本数を 1\ 000\ 000\ 007 で割った余りを求めなさい.

例として, 以下のあみだくじにおいて, 最終的にたどり着く縦棒の番号は 4 である.

制約

  • H は 1 以上 100 以下の整数
  • W は 1 以上 8 以下の整数
  • K は 1 以上 W 以下の整数

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

H W K

出力

条件を満たすあみだくじの本数を 1\ 000\ 000\ 007 で割った余りを出力しなさい.

入力例 1

1 3 2

出力例 1

1

以下の 1 個のあみだくじのみが条件を満たす.

入力例 2

1 3 1

出力例 2

2

以下の 2 個のあみだくじのみが条件を満たす.

入力例 3

2 3 3

出力例 3

1

以下の 1 個のあみだくじのみが条件を満たす.

入力例 4

2 3 1

出力例 4

5

以下の 5 個のあみだくじのみが条件を満たす.

入力例 5

7 1 1

出力例 5

1

縦線が 1 本しかないので, 横線をそもそも引くことができない. よって条件を満たすあみだくじは「一本も横線を引かない」の 1 通りしかない.

入力例 6

15 8 5

出力例 6

437760187

答えを 1\ 000\ 000\ 007 で割った余りを出力すること.

Score: 400 points

Problem Statement

Amidakuji is a traditional method of lottery in Japan.

To make an amidakuji, we first draw W parallel vertical lines, and then draw horizontal lines that connect them. The length of each vertical line is H+1 [cm], and the endpoints of the horizontal lines must be at 1, 2, 3, ..., or H [cm] from the top of a vertical line.

A valid amidakuji is an amidakuji that satisfies the following conditions:

  • No two horizontal lines share an endpoint.
  • The two endpoints of each horizontal lines must be at the same height.
  • A horizontal line must connect adjacent vertical lines.

Find the number of the valid amidakuji that satisfy the following condition, modulo 1\ 000\ 000\ 007: if we trace the path from the top of the leftmost vertical line to the bottom, always following horizontal lines when we encounter them, we reach the bottom of the K-th vertical line from the left.

For example, in the following amidakuji, we will reach the bottom of the fourth vertical line from the left.

Constraints

  • H is an integer between 1 and 100 (inclusive).
  • W is an integer between 1 and 8 (inclusive).
  • K is an integer between 1 and W (inclusive).

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

H W K

Output

Print the number of the amidakuji that satisfy the condition, modulo 1\ 000\ 000\ 007.

Sample Input 1

1 3 2

Sample Output 1

1

Only the following one amidakuji satisfies the condition:

Sample Input 2

1 3 1

Sample Output 2

2

Only the following two amidakuji satisfy the condition:

Sample Input 3

2 3 3

Sample Output 3

1

Only the following one amidakuji satisfies the condition:

Sample Input 4

2 3 1

Sample Output 4

5

Only the following five amidakuji satisfy the condition:

Sample Input 5

7 1 1

Sample Output 5

1

As there is only one vertical line, we cannot draw any horizontal lines. Thus, there is only one amidakuji that satisfies the condition: the amidakuji with no horizontal lines.

Sample Input 6

15 8 5

Sample Output 6

437760187

Be sure to print the answer modulo 1\ 000\ 000\ 007.