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配点 : 600 点
問題文
ナガセは高校の優等生です。ある日のこと、ナガセは正の整数からなる特別な集合のとある性質を分析しています。
ナガセの考えでは、異なる 正の整数の集合 S = \{a_{1}, a_{2}, ..., a_{N}\} は、以下の条件を満たす場合に 特別 であると呼ばれます。条件：どの 1 \leq i \leq N についても、a_{i} と、S のその他の要素の和の最大公約数は 1 ではない。
ナガセは、要素数 N の 特別 な集合を求めたいです。ところがこれは簡単すぎるので、難易度を上げることにしました。要素数 N の 特別 な集合であって、すべての要素の最大公約数が 1 であり、どの要素も 30000 以下であるものを求めてみよ、とのことです。
制約
- 3 \leq N \leq 20000
入力
入力は標準入力から以下の形式で与えられる。
N
出力
S の要素を表す N 個の整数を空白で区切って出力せよ。S は以下の条件を満たさなければならない。
- 要素は 30000 以下の 異なる 正の整数でなければならない。
- S のすべての要素の最大公約数は 1 である。すなわち、S のすべての要素を割り切るような整数 d > 1 は存在しない。
- S は 特別 な集合である。
複数の解が存在する場合は、そのうちどれを出力してもよい。また、S の要素はどのような順番で出力してもよい。なお、与えられた制約の下で解が少なくとも一つ存在することが保証される。
入力例 1
3
出力例 1
2 5 63
\{2, 5, 63\} は特別です。なぜなら、gcd(2, 5 + 63) = 2, gcd(5, 2 + 63) = 5, gcd(63, 2 + 5) = 7 であり、さらに gcd(2, 5, 63) = 1 であるため、すべての判定条件を満たすからです。
なお、\{2, 4, 6\} は解として認められません。gcd(2, 4, 6) = 2 > 1 であるからです。
入力例 2
4
出力例 2
2 5 20 63
\{2, 5, 20, 63\} は特別です。なぜなら、gcd(2, 5 + 20 + 63) = 2, gcd(5, 2 + 20 + 63) = 5, gcd(20, 2 + 5 + 63) = 10, gcd(63, 2 + 5 + 20) = 9 であり、さらに gcd(2, 5, 20, 63) = 1 であるため、すべての判定条件を満たすからです。
Score : 600 points
Problem Statement
Nagase is a top student in high school. One day, she's analyzing some properties of special sets of positive integers.
She thinks that a set S = \{a_{1}, a_{2}, ..., a_{N}\} of distinct positive integers is called special if for all 1 \leq i \leq N, the gcd (greatest common divisor) of a_{i} and the sum of the remaining elements of S is not 1.
Nagase wants to find a special set of size N. However, this task is too easy, so she decided to ramp up the difficulty. Nagase challenges you to find a special set of size N such that the gcd of all elements are 1 and the elements of the set does not exceed 30000.
Constraints
- 3 \leq N \leq 20000
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N
Output
Output N space-separated integers, denoting the elements of the set S. S must satisfy the following conditions :
- The elements must be distinct positive integers not exceeding 30000.
- The gcd of all elements of S is 1, i.e. there does not exist an integer d > 1 that divides all elements of S.
- S is a special set.
If there are multiple solutions, you may output any of them. The elements of S may be printed in any order. It is guaranteed that at least one solution exist under the given contraints.
Sample Input 1
3
Sample Output 1
2 5 63
\{2, 5, 63\} is special because gcd(2, 5 + 63) = 2, gcd(5, 2 + 63) = 5, gcd(63, 2 + 5) = 7. Also, gcd(2, 5, 63) = 1. Thus, this set satisfies all the criteria.
Note that \{2, 4, 6\} is not a valid solution because gcd(2, 4, 6) = 2 > 1.
Sample Input 2
4
Sample Output 2
2 5 20 63
\{2, 5, 20, 63\} is special because gcd(2, 5 + 20 + 63) = 2, gcd(5, 2 + 20 + 63) = 5, gcd(20, 2 + 5 + 63) = 10, gcd(63, 2 + 5 + 20) = 9. Also, gcd(2, 5, 20, 63) = 1. Thus, this set satisfies all the criteria.