次の 2 つの数え上げの積が答です．

• \(N\) 人のうち別の友達を受け取った \(K\) 人が誰かを決めて方法の個数．

• \((1,2,\ldots,K)\) の並べ替え \((A_1,\ldots,A_K)\) であって任意の \(i\) に対して \(A_i\neq i\) となるものの個数．

前者は「二項係数」，後者は「完全順列（あるいは攪乱順列）」という有名問題です．

完全順列の数え上げについては漸化式を作る方法と包除原理を用いる方法の 2 つが代表的で，どちらも日本語 wikipedia でも学ぶことができます． https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%88%97