簡単のため，以下の議論で現れる直線（道路・角の二等分線・垂直二等分線）はすべて平行でないものとして説明します．

\(2\) つの道路 \(X,Y\) に対して，「\(X\), \(Y\) から等距離である点全体の集合」は，これらの角の二等分線 2 つの和集合です．

\(2\) つの点 \(P,Q\) に対して，「\(P\), \(Q\) から等距離である点全体の集合」は，これらの垂直二等分線です．

直線の集合 \(L\) を，

• 道路の角の二等分線すべて
• 2 点の垂直二等分線すべて
• \(x=\pm R\), \(y=\pm R\) （候補となる領域の境界線）

を集めたものとします．

これらの直線をすべて平面に描くと，平面全体はいくつかの凸領域に分割され，各領域においては「最も近い道路」「最も近い住居」がどれであるかは一定です．よって，この領域において \(f(x,y)\) は，定直線・定点との距離から定まるものとして扱えます．

さらに，この凸領域を境界を含めて考えると， \(f(x,y)\) が最大となる点は，領域の頂点（凸多角形として見たときの頂点）のいずれかであることが分かります．これは，\(f(x,y)\) の次の性質によります：

• 直線 \(\ell\) をひとつ固定すると，\(f\) は \(\ell\) 上で下に凸な 2 次関数である．したがって，線分上ではその端点のどちらかで最大値をとる．

結局，\(f\) の最大値をとる点の候補を，\(L\) の直線 2 つの交点に限定できます．よって，次のように答を求めることができます．

(1) \(L\) の直線を列挙する．

(2) \(L\) の直線 2 つの交点を列挙する．

(3) 領域 \([-R,R] \times [-R,R]\) 内の各交点に対して \(f(x,y)\) を計算する．それらの最大値が答である．