D - Xor Sum 2

Contest Duration: 2018-05-26(Sat) 12:00 - 2018-05-26(Sat) 13:40 (local time) (100 minutes) Back to Home

D - Xor Sum 2 Editorial

Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB

配点 : $500$ 点

問題文

長さ $N$ の整数列 $A$ があります。

次の条件を満たす整数 $l$ , $r$ ( $1 \leq l \leq r \leq N$ ) の組の個数を求めてください。

$A_l\ xor\ A_{l+1}\ xor\ ...\ xor\ A_r = A_l\ +\ A_{l+1}\ +\ ...\ +\ A_r$

xorの説明

整数 $c_1, c_2, ..., c_m$ の $xor$ は以下のように定義されます。

$xor$ の値を $X$ とおく。 $X$ を $2$ 進数表記したときの $2^k$ ( $0 \leq k$ , $k$ は整数 ) の位の値は、 $c_1, c_2, ...c_m$ のうち、 $2$ 進数表記したときの $2^k$ の位の値が $1$ となるものが奇数個ならば $1$ 、偶数個ならば $0$ となる。

例えば、 $3$ と $5$ の $xor$ の値は、 $3$ の $2$ 進数表記が $011$ 、 $5$ の $2$ 進数表記が $101$ のため、 $2$ 進数表記が $110$ の $6$ となります。

制約

$1 \leq N \leq 2 \times 10^5$
$0 \leq A_i < 2^{20}$
入力はすべて整数である

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる。

 $N$ 
 $A_1$   $A_2$   $...$   $A_N$

出力

条件を満たす整数 $l$ , $r$ ( $1 \leq l \leq r \leq N$ ) の組の個数を出力せよ。

入力例 1Copy

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4
2 5 4 6

出力例 1Copy

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明らかに、 $(l,r)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$ は条件を満たします。また、 $(l,r)=(1,2)$ の場合、 $A_1\ xor\ A_2 = A_1\ +\ A_2 = 7$ となるので、これも条件を満たします。ほかに条件を満たす組はないので、答えは $5$ になります。

入力例 2Copy

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9
0 0 0 0 0 0 0 0 0

出力例 2Copy

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入力例 3Copy

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19
885 8 1 128 83 32 256 206 639 16 4 128 689 32 8 64 885 969 1

出力例 3Copy

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Score : $500$ points

Problem Statement

There is an integer sequence $A$ of length $N$ .

Find the number of the pairs of integers $l$ and $r$ ( $1 \leq l \leq r \leq N$ ) that satisfy the following condition:

$A_l\ xor\ A_{l+1}\ xor\ ...\ xor\ A_r = A_l\ +\ A_{l+1}\ +\ ...\ +\ A_r$

Here, $xor$ denotes the bitwise exclusive OR.

Definition of XOR

The XOR of integers $c_1, c_2, ..., c_m$ is defined as follows:

Let the XOR be $X$ . In the binary representation of $X$ , the digit in the $2^k$ 's place ( $0 \leq k$ ; $k$ is an integer) is $1$ if there are an odd number of integers among $c_1, c_2, ...c_m$ whose binary representation has $1$ in the $2^k$ 's place, and $0$ if that number is even.

For example, let us compute the XOR of $3$ and $5$ . The binary representation of $3$ is $011$ , and the binary representation of $5$ is $101$ , thus the XOR has the binary representation $110$ , that is, the XOR is $6$ .

Constraints

$1 \leq N \leq 2 \times 10^5$
$0 \leq A_i < 2^{20}$
All values in input are integers.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

 $N$ 
 $A_1$   $A_2$   $...$   $A_N$

Output

Print the number of the pairs of integers $l$ and $r$ ( $1 \leq l \leq r \leq N$ ) that satisfy the condition.

Sample Input 1Copy

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4
2 5 4 6

Sample Output 1Copy

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$(l,r)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$ clearly satisfy the condition. $(l,r)=(1,2)$ also satisfies the condition, since $A_1\ xor\ A_2 = A_1\ +\ A_2 = 7$ . There are no other pairs that satisfy the condition, so the answer is $5$ .

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9
0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sample Output 2Copy

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Sample Input 3Copy

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19
885 8 1 128 83 32 256 206 639 16 4 128 689 32 8 64 885 969 1

Sample Output 3Copy

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